Il 8 agosto 1900, durante il Secondo Congresso Internazionale dei Matematici a Parigi, David Hilbert presentò dieci dei ventitré problemi matematici ancora irrisolti che, secondo lui, avrebbero rappresentato gli “obiettivi verso cui gli spiriti matematici delle generazioni future si sarebbero sforzati”. La sua previsione si rivelò corretta, anche se il fatto che fosse uno dei matematici più rispettati del suo tempo potrebbe aver contribuito a questo. Nel corso del secolo successivo, tutti tranne cinque di questi problemi furono risolti, con intere discipline matematiche che si svilupparono per supportare il loro studio.
Con la fine del XX secolo, ci si interrogava su quali aree di studio avrebbero preso il testimone. Quali sarebbero stati i problemi del futuro matematico? E chi avrebbe deciso?
La nascita dei Millennium Prize Problems
Nel maggio del 2000, Michael Atiyah, un leggendario matematico il cui nome è associato a numerosi teoremi e concetti in geometria, annunciò con entusiasmo: “Sono molto lieto di essere qui. Questa è un’occasione importante”. Ancora una volta a Parigi, presso il Collège de France, il Clay Institute, una fondazione senza scopo di lucro recentemente fondata e dedicata alla scoperta e alla diffusione della conoscenza matematica, stava avviando un incontro destinato a entrare nei libri di storia. L’obiettivo, come annunciato da Atiyah in una delle tre conferenze, era “lanciare i problemi per il prossimo secolo”.
Un passaggio di testimone
Atiyah descrisse l’evento come un vero e proprio passaggio di testimone dal secolo scorso al nuovo secolo. ”Siamo qui per riassumere lo stato della matematica alla fine di un secolo e per descrivere i problemi su cui i giovani dovranno lavorare nel nuovo secolo”, dichiarò. Il progetto che avrebbe portato ai Millennium Prize Problems era iniziato appena 18 mesi prima, con la riunione inaugurale del Clay Mathematics Institute nel novembre 1998. All’ordine del giorno: la discussione di un “Prize 2000”, come era inizialmente chiamato, che avrebbe fornito una piccola ricompensa monetaria per la soluzione di uno qualsiasi dei 50 problemi matematici irrisolti.
La selezione dei problemi
La selezione dei problemi non era ancora stata determinata. “Il numero esatto di domande dipendeva dal processo, e non avevamo idea di dove ci avrebbe portato la selezione”, ricordò Arthur Jaffe, professore di matematica e scienze teoriche all’Università di Harvard e, al momento della selezione delle domande, presidente del Clay Mathematics Institute. Tuttavia, avevano un’idea generale di cosa cercare. “Come primo passo, ho chiesto a ciascun membro del SAB [Scientific Advisory Board] di presentare una lista personale delle domande principali”, spiegò Jaffe. “Ciascuna di queste domande doveva essere difficile e importante, una sfida collaudata su cui i matematici avevano lavorato senza successo”.
La sfida dei problemi matematici
Potrebbe sembrare conveniente che un apparente successore della famosa lista di Hilbert sia emerso nel centenario del suo annuncio. Naturalmente, non fu così. “La maggior parte dei matematici sa che il famoso set di ventitré problemi di Hilbert fu annunciato in una conferenza al Congresso dei Matematici del 1900, a Parigi”, scrisse Jaffe. “Quindi era naturale che la nostra lista di problemi del millennio fosse resa pubblica durante l’anno 2000, e a Parigi!”
Una corsa contro il tempo
C’era solo una complicazione con questo piano: era già novembre del 1999 prima che qualcuno se ne rendesse conto. “Ovviamente avremmo dovuto esserne ben consapevoli fin dall’inizio”, ammise Jaffe. “Ma a volte bisogna riflettere prima di capire l’ovvio”. Improvvisamente, creare una lista di 50 problemi concordati da un ampio consenso era passato da “una grande richiesta” a “praticamente impossibile”. “Entro la fine del 1999 erano state scelte sette domande”, scrisse Jaffe. “A questo punto il SAB dichiarò la lista provvisoriamente chiusa”.
La motivazione dietro la sfida
Rimaneva solo una cosa da decidere: quale sarebbe stata la motivazione per risolvere questi problemi? Per Hilbert, la risposta era stata semplicemente che si sarebbe guadagnato il rispetto dei propri colleghi matematici, ma una nuova era, decise il Clay Institute, richiedeva nuovi incentivi. “L’intenzione di offrire un premio monetario per la soluzione di uno dei problemi del millennio è sempre stata parte del quadro”, spiegò Jaffe. “Dopo una riflessione, la mia reazione fu di suggerire che il CMI offrisse una sfida da 7 milioni di dollari fin dall’inizio. Questo avrebbe sicuramente attirato l’attenzione”.
I problemi selezionati
Alla fine, le sette domande selezionate furono le seguenti:
- Congettura di Poincaré: Ogni varietà topologica tridimensionale chiusa, connessa e con gruppo fondamentale banale è omeomorfa alla sfera tridimensionale.
- Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer: Ogni curva ellittica ha un numero infinito di punti razionali o un numero finito di punti razionali, a seconda che una funzione associata sia uguale a zero o non uguale a zero, rispettivamente.
- Congettura di Hodge: Su una varietà algebrica proiettiva non singolare su C, ogni classe di Hodge è una combinazione lineare razionale di classi di cicli algebrici.
- Esistenza e regolarità delle equazioni di Navier-Stokes: In tre dimensioni spaziali e nel tempo, dato un campo di velocità iniziale, esiste un campo di velocità vettoriale e un campo di pressione scalare, entrambi lisci e definiti globalmente, che risolvono le equazioni di Navier-Stokes.
- P vs NP: Se la soluzione di un problema è facile da verificare per correttezza, allora il problema è facile da risolvere.
- Ipotesi di Riemann: La parte reale di ogni zero non banale della funzione zeta di Riemann è 1/2.
- Esistenza di Yang-Mills e il gap di massa: Per ogni gruppo di gauge semplice compatto G, esiste una teoria quantistica di Yang-Mills non banale su R4 e ha un gap di massa Δ > 0.
Dimostra o confuta uno di questi, e avrai vinto un milione di dollari. Semplice, giusto? Beh, ecco il colpo di scena: sono passati quasi venticinque anni da quando queste domande sono state annunciate, e finora, un totale di zero dollari è stato pagato per le loro soluzioni.
Il genio di Grigori Perelman
L’11 novembre 2002, un documento fu caricato silenziosamente sul server di preprint ArXiv. Riguardava il flusso di Ricci, un modo di analizzare certe varietà usando equazioni differenziali parziali per renderle “più rotonde”, e mentre sicuramente suscitò scalpore, nessuno sospettava quanto sarebbe stato importante.
Un approccio non convenzionale
Due altri documenti seguirono, a marzo e luglio 2003. Entrambi erano tanto non ortodossi quanto il primo: saltavano affermazioni che normalmente avrebbero richiesto pagine di spiegazioni; menzionavano risultati eleganti come dettagli irrilevanti; persino il semplice fatto che fosse stato pubblicato come preprint, senza alcun obiettivo finale di pubblicazione in una rivista, sfidava la convenzione accademica. Tuttavia, era perfettamente in linea con il carattere dell’autore: Grigori Perelman, un matematico russo noto tanto per il suo genio sorprendente quanto per la sua estrema riservatezza.
Un risultato rivoluzionario
“Mi ricorda Newton – questa ossessione per un’idea, lavorare da soli, il disprezzo per l’opinione degli altri”, disse il rinomato matematico Misha Gromov al New Yorker nel 2006. “Newton era più sgradevole. Perelman è più gentile, ma molto ossessionato”. Così, per quanto strani e impenetrabili potessero sembrare, quando caricò i suoi documenti, la gente sapeva di dover prestare attenzione. E abbastanza rapidamente, notarono qualcosa di strano.
“Salve Grisha”, scrisse Vitali Kapovitch in un’email a Perelman circa una settimana dopo la pubblicazione del primo documento. “Mi dispiace disturbarti, ma molte persone mi stanno chiedendo del tuo preprint ‘La formula dell’entropia per il Ricci…’. Capisco correttamente che, sebbene tu non possa ancora fare tutti i passaggi nel programma di Hamilton, puoi fare abbastanza in modo che, usando alcuni risultati di collasso, puoi dimostrare la geometrizzazione? Vitali.”
Stava, in modo indiretto, chiedendo qualcosa di enorme: hai davvero dimostrato la congettura di Poincaré? E la risposta, ricevuta il giorno successivo, fu chiara: “Esatto. Grisha.”
Il riconoscimento e il rifiuto
“Qui c’è un ragazzo che ha dimostrato un teorema famoso in tutto il mondo e non l’ha nemmeno menzionato”, disse Frank Quinn, un matematico del Virginia Tech, al New Yorker. “Ha dichiarato alcuni punti chiave e proprietà speciali, e poi ha risposto alle domande”. Ci vollero tre anni di lavoro diligente da parte dei matematici di tutto il mondo per verificare completamente i risultati di Perelman, ma alla fine, la conclusione era inevitabile: la congettura di Poincaré era stata risolta.
“È davvero un grande momento nella matematica”, disse Bruce Kleiner, ora professore di matematica alla New York University ma allora a Yale, al New York Times nel 2006. ”Poteva succedere tra 100 anni, o mai”.
Immediatamente, Perelman divenne una celebrità, in procinto di essere nominato per la Medaglia Fields e potenzialmente in corsa per vincere il primo premio da un milione di dollari del Millennium Prize. Invece, scomparve. Le comunicazioni via email con i colleghi, già terse e sporadiche, si interruppero completamente; rifiutò inviti a presentare il suo lavoro o a candidarsi per posizioni prestigiose; nel 2006, divenne la prima persona nella storia a rifiutare la Medaglia Fields. Nel giro di pochi anni, si diceva che avesse abbandonato completamente la matematica.
Rifiutò persino il milione di dollari quando l’inevitabile accadde. “Si è disilluso dalla matematica, il che è piuttosto triste”, disse Marcus du Sautoy, professore Simonyi per la comprensione pubblica della scienza all’Università di Oxford, al Guardian nel 2006. “Non è interessato al denaro. Il grande premio per lui è dimostrare il suo teorema”.
Dove si trovi Grisha ora, nessuno lo sa davvero, ma probabilmente è lo stesso piccolo appartamento di San Pietroburgo che condivideva con sua madre quando cambiò il panorama matematico 20 anni fa. Per quanto riguarda gli altri sei problemi? Beh, sono ancora tutti aperti. Come disse Atiyah in quel primo incontro: “Questo è un messaggio per i giovani: questi sono i vostri problemi. Siete voi quelli a cui guardiamo per le soluzioni di questi problemi”.
