Durante il periodo estivo, due studenti dell’Università del Colorado a Boulder, Summer Haag e Clyde Kertzer, hanno fatto una scoperta significativa nel campo della teoria dei numeri, dimostrando la falsità di una congettura a lungo accettata. La loro ricerca si è concentrata sullo studio dei cosiddetti “imballaggi circolari di Apollonio”, evidenziando l’aspetto creativo e inesplorato dell’esplorazione matematica.
La ricerca estiva
Prima della fine dell’anno accademico 2022-2023, la studentessa laureata Summer Haag e il giovane studente Clyde Kertzer erano alla ricerca di opportunità di ricerca estiva in matematica, la loro area di studio. La loro attenzione è stata catturata da un’esperienza di ricerca per studenti universitari (REU) con Katherine (Kate) Stange, professore associato presso il Dipartimento di Matematica dell’Università del Colorado a Boulder, e James Rickards, ricercatore post-dottorato nello stesso dipartimento, che trattava un argomento di loro grande interesse: la teoria dei numeri.
L’interesse per la teoria dei numeri
“Fin da quando ero studente, sapevo che volevo dedicarmi alla teoria dei numeri”, afferma Haag. “Quando ho visto che Kate e James stavano organizzando un REU sulla teoria dei numeri, ho detto: ‘Quello! Voglio quello!’”. Anche Kertzer, che ha ritirato le sue candidature ad altri REU dopo essere stato accettato in quello con Stange e Rickards, esprime il suo entusiasmo: “Ho seguito diversi corsi di teoria dei numeri qui all’Università del Colorado che mi hanno davvero appassionato. Ero super emozionato”.
La sfida alla congettura local-global
L’esperienza di ricerca estiva si è concentrata su un ramo della teoria dei numeri chiamato “imballaggi circolari di Apollonio”, che sono frattali, o modelli infiniti, composti da cerchi infiniti che si toccano ma non si sovrappongono mai. Né Haag né Kertzer avevano molta esperienza con gli imballaggi circolari. “Avevo già visto le forme quadratiche e le inversioni di Mobius, ma non le avevo mai viste applicate agli imballaggi circolari”, dice Haag. “Ero entusiasta di imparare queste cose”. Kertzer, dal canto suo, si è recato in biblioteca per prendere in prestito l’unico libro che ha trovato sugli imballaggi circolari e ha iniziato a leggerlo.
Nelle prime settimane del REU, Stange e Rickards hanno fornito a Haag e Kertzer le informazioni di base necessarie per il progetto e li hanno istruiti su come utilizzare il codice sviluppato da Rickards per raccogliere dati sugli imballaggi circolari. Dopo di che, hanno dato loro la libertà di esplorare. “Abbiamo iniziato con un’idea di progetto divertente che avrebbe dato agli studenti la possibilità di sperimentare la ricerca raccogliendo dati, cercando schemi e dimostrandoli”, dice Stange. “Non avevamo un obiettivo molto definito”. Rickards aggiunge: “Avevamo una lunga lista di possibili problemi da esplorare. Non c’era una vera e propria meta finale in vista”.
Tuttavia, le esplorazioni di Haag e Kertzer hanno prodotto dati che hanno messo in discussione una congettura matematica ben nota. La congettura local-global, ampiamente accettata per la maggior parte dei due decenni precedenti, prevede le curvature dei cerchi all’interno di un imballaggio circolare. Secondo questa congettura, se un ricercatore conosce le curvature di alcuni cerchi in un imballaggio (i cerchi “locali”), può poi prevedere le curvature dei cerchi nel resto dell’imballaggio (i cerchi “globali”). Ripetutamente, le prove sembravano supportare la congettura local-global, tanto che praticamente tutti quelli che la conoscevano la ritenevano vera. “Anche se non era stata dimostrata, era quasi garantito che fosse vera”, dice Haag.
Ma poi, mentre inserivano i numeri nel codice di Rickards, Haag e Kertzer decisero di fare qualcosa che non era ancora stato fatto. Invece di inserire un numero nel codice, ne inserirono due e osservarono gli imballaggi risultanti. Fu allora che le cose divennero interessanti. I numeri che, secondo la congettura local-global, avrebbero dovuto apparire insieme negli stessi imballaggi, non lo facevano. Stange paragona la situazione a una prigione. Era come se i numeri che dovevano essere rinchiusi avessero scavato un tunnel quando nessuno stava guardando e fossero fuggiti. Haag, Kertzer, Stange e Rickards sapevano tutti cosa significavano questi dati per la congettura local-global, motivo per cui la reazione immediata di Rickards fu quella di controllare il suo codice alla ricerca di errori. Ma non ce n’erano. Il codice era corretto. La congettura local-global, invece, non lo era.
Nei giorni successivi, Stange e Rickards hanno messo insieme una dimostrazione delle loro scoperte, lavorando così velocemente, con tanta energia e precisione che Haag e Kertzer non potevano fare a meno di sentirsi ispirati. “È stato davvero impressionante”, dice Kertzer. “È il punto in cui vogliamo arrivare come matematici”. I quattro hanno pubblicato un articolo sul server di preprint arXiv con un titolo inequivocabile quanto il suo contenuto è sorprendente: “La congettura local-global per gli imballaggi circolari di Apollonio è falsa”. Non male per un progetto di ricerca estiva.
Ma ciò che Haag e Kertzer hanno trovato ancora più gratificante che confutare una grande congettura in sospeso è stata l’esperienza diretta del lato creativo della ricerca matematica. Non si trattava solo di formule e regole. Era intuizione, esplorazione, gioco. “Un consiglio che Kate mi ha dato mi rimarrà impresso per un po’”, ricorda Kertzer. “‘Se non sei sicuro, segui il tuo istinto’”. La ricerca matematica, spiega Stange, “spesso si sente come esplorare una giungla. Non sei sicuro di cosa troverai, ma la creatività sta nel decidere quale foglia girare, quale sentiero prendere, quali domande stai cercando di rispondere e come andrai a rispondere. Alcune delle intuizioni più profonde in matematica derivano da salti creativi che collegano idee apparentemente non collegate”.
Fortunatamente per Haag e Kertzer, c’è ancora molta giungla da esplorare. “Alcuni dei miei studenti sono così confusi che voglio fare ricerca in matematica”, dice Haag. “Dicono: ‘La matematica non è già finita? Quante domande possono essere ancora irrisolte in matematica?’”. Haag sorride quando risponde: “Così tante”.
